微分積分例

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $4 x y^{2} d x$ を引きます。

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

ステップ 3.3

$- 4$ と $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

ステップ 3.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y^{2}$ を $(x^{2} + 1) y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

ステップ 3.4.2

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

ステップ 3.5

$\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 4.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4.3.4

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 4.3.4.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 4.3.4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.3.5.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 4.3.7

簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.7.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.7.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 4.3.9

簡約します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ を簡約します。

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 5.3

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

ステップ 5.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

ステップ 5.3.3.2

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

方程式を $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ として書き換えます。

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

ステップ 5.4.2

$y$ を $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.2.1

$y$ を $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

ステップ 5.4.2.2

$y$ を $C y$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

ステップ 5.4.2.3

$y$ を $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

ステップ 5.4.3

$- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ を $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ に書き換えます。

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

ステップ 5.4.4

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ の各項を $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ の各項を $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ で割ります。

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

ステップ 5.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.1

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

ステップ 5.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

ステップ 5.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

ステップ 5.4.4.3.2

$- 1$ を $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

ステップ 5.4.4.3.3

$- 1$ を $C$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

ステップ 5.4.4.3.4

$- 1$ を $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

ステップ 5.4.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.3.5.1

$- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ を $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

ステップ 5.4.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

ステップ 5.4.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

ステップ 5.4.4.3.5.4

$\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

微分積分 例

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