微分積分例

$x d y = (y - x) d x$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $(y - x) d x$ を引きます。

$x d y - (y - x) d x = 0$

ステップ 1.2

書き換えます。

$- (y - x) d x + x d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - (y - x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y - x)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (y - x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y - x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y - x]$

ステップ 2.3

総和則では、 $y - x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.5

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

ステップ 3

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$- 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 1 = 1$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 1 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 1 - 1}{N}$

ステップ 5.3

$x$ を $N$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を $N$ に代入します。

$\frac{- 1 - 1}{x}$

ステップ 5.3.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{x}$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 6.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 6.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

ステップ 6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

ステップ 6.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

ステップ 6.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 7

$- (y - x) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$- (y - x)$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$- (y - x) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(- y - - x) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(- y + 1 x) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(- y + x) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.4

$- y + x$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{- y + x}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{- (y) + x}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.6

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{- (y) - 1 (- x)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.7

$- 1$ を $- (y) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{- (y - x)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.8

$- (y - x)$ を $- 1 (y - x)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (y - x)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y - x}{x^{2}} d x + x d y = 0$

ステップ 7.10

$x$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{y - x}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 7.11

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.11.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{y - x}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 7.11.2

共通因数を約分します。

$- \frac{y - x}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 7.11.3

式を書き換えます。

$- \frac{y - x}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = \frac{1}{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $\frac{y}{x} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.5

簡約します。

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ステップ 12.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.5.2

$y$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 12.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{y - x}{x^{2}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 13.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 13.1.1.1

方程式の両辺に $\frac{y - x}{x^{2}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} + \frac{y - x}{x^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + y - x}{x^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.3

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x}{x^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4

$0$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1.5.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.1.5.1.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.5.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

ステップ 13.1.1.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

ステップ 13.1.1.5.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

ステップ 13.1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 14

$\frac{1}{x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 14.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$g (x) = \ln (| x |) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{y}{x} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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