微分積分例

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$17.6$ は $t$ に対して定数なので、 $17.6$ を積分の外に移動させます。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

ステップ 2.3.2

$u = 17.6 t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 35.2 t d t$ すると、 $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = 17.6 t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$17.6 t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $17.6 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$17.6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $17.6 t^{2}$ の微分係数は $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $17.6$ をかけます。

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$35.2 t + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$35.2 t$ と $0$ をたし算します。

$35.2 t$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{35.2}$ をかけます。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

ステップ 2.3.3.2

$35.2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{35.2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{35.2}$ を積分の外に移動させます。

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 2.3.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{35.2}$ と $17.6$ をまとめます。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$2$ に $0.5$ をかけます。

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $17.6 t^{2} + 1$ で置き換えます。

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例