微分積分例

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ , $x (\frac{π}{4}) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.2

$4$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{1}$ です。

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (x) = 4 t + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $x$ を取り出します。

$x = \tan (4 t + K)$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $x = \tan (4 t + K)$ の $\frac{π}{4}$ を $t$ に、 $1$ を $x$ に代入し $K$ の値を求めます。

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

ステップ 5

$K$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ として書き換えます。

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $K$ を取り出します。

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

ステップ 5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

ステップ 5.3.1.2

式を書き換えます。

$π + K = \arctan (1)$

ステップ 5.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$π + K = \frac{π}{4}$

ステップ 5.5

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.5.1

方程式の両辺から $π$ を引きます。

$K = \frac{π}{4} - π$

ステップ 5.5.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 5.5.3

$- π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

ステップ 5.5.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

ステップ 5.5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.5.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

ステップ 5.5.5.2

$π$ から $4 π$ を引きます。

$K = \frac{- 3 π}{4}$

ステップ 5.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$K = - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.6

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$π + K = π + \frac{π}{4}$

ステップ 5.7

$K$ について解きます。

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ステップ 5.7.1

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.7.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.7.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.7.1.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.7.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 5.7.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.1.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 5.7.1.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$π + K = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.7.2

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.7.2.1

方程式の両辺から $π$ を引きます。

$K = \frac{5 π}{4} - π$

ステップ 5.7.2.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 5.7.2.3

$- π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

ステップ 5.7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

ステップ 5.7.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.2.5.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

ステップ 5.7.2.5.2

$5 π$ から $4 π$ を引きます。

$K = \frac{π}{4}$

ステップ 5.8

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.8.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.8.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.9

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 5.9.1

$π$ を $- \frac{3 π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{3 π}{4} + π$

ステップ 5.9.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.9.3

分数をまとめます。

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ステップ 5.9.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 5.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.9.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

ステップ 5.9.4.2

$4 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{π}{4}$

ステップ 5.9.5

新しい角をリストします。

$K = \frac{π}{4}$

ステップ 5.10

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.11

答えをまとめます。

$K = \frac{π}{4} + π n$

ステップ 6

$\frac{π}{4} + π n$ を $x = \tan (4 t + K)$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{π}{4} + π n$ を $K$ に代入します。

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$

微分積分 例

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