微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 2$

ステップ 1

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 2

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot 2$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 2$

ステップ 2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 2$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot 2$

ステップ 2.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = 2 x$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 2 x d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x y = \int 2 x d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x y = 2 \int x d x$

ステップ 6.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$x y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 6.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$x y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 6.3.2

簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x y = 1 x^{2} + C$

ステップ 6.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x y = x^{2} + C$

ステップ 7

$x y = x^{2} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x y = x^{2} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$y = x + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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