微分積分例

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

ステップ 1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ の因数を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

ステップ 1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $y \sin (\frac{y}{x})$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

ステップ 1.3

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ の各項を $x \sin (\frac{y}{x})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ の各項を $x \sin (\frac{y}{x})$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2.2

$\sin (\frac{y}{x})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3.1.2

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3.1.3

$\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ を $\csc (\frac{y}{x})$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3.1.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3.1.5

$\sin (\frac{y}{x})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.3.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$- \csc (V) + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$- \csc (V)$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{\csc (V)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

ステップ 6.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.3.2

$\csc (V)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

$- \frac{1}{\csc (V)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

ステップ 6.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (V)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (V)}$ で割ります。

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.3

$\sin (V)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$\sin (V)$ の $V$ に関する積分は $- \cos (V)$ です。

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2.2

$\cos (V)$ を $1$ で割ります。

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3.1.2

$\ln (| x |)$ を $1$ で割ります。

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

ステップ 6.3.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $V$ を取り出します。

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$\arccos (\ln (| x |) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

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