微分積分例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$ , $y (2) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $4 x y$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ の各項を $x^{2} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ の各項を $x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2

$x$ を $x - 4 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2.3

$x$ を $- 4 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{1 - 4 y}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

ステップ 1.4

$1 - 4 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$1 - 4 y$ を $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 1 - 4 y$ とします。次に $d u_{1} = - 4 d y$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 1 - 4 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$1 - 4 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

ステップ 2.2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

総和則では、 $1 - 4 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

ステップ 2.2.1.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- 4 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

$- 4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 4 y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 2.2.1.1.4

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2.3

$4$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - 4 y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = x^{2} + 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 4$ を掛けます。

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\ln (| 1 - 4 y |)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$\ln (| 1 - 4 y |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x^{2} + 1 |)$ をまとめます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.3.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.3

式を書き換えます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

ステップ 3.2.2.1.5

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

ステップ 3.2.2.1.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ を簡約します。

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

ステップ 3.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 3.7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

方程式を $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ として書き換えます。

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

ステップ 3.7.2

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ の各項を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ の各項を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ で割ります。

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.2.2.1.2

$| 1 - 4 y |$ を $1$ で割ります。

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

ステップ 3.7.5

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.1

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.7.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.7.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.7.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ を簡約します。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.7.5.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 3.7.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ の $2$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{C \frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$ として書き換えます。

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$

ステップ 6.2

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{C \frac{1}{{(4 + 1)}^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.1.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{C \frac{1}{5^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{C \frac{1}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

$C$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$\frac{\frac{C}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{C}{25} + \frac{25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{C + 25}{25} = 1 \cdot 4$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{C + 25}{25} = 4$

ステップ 6.4

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の両辺に $25$ を掛けます。

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

ステップ 6.4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$C + 25 = 25 \cdot 4$

ステップ 6.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$25$ に $4$ をかけます。

$C + 25 = 100$

ステップ 6.4.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$C = 100 - 25$

ステップ 6.4.3.2

$100$ から $25$ を引きます。

$C = 75$

ステップ 7

$75$ を $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$75$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{75 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$75$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

ステップ 7.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{75 + {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{75 + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.3.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.3.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.2.4.4

$75$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 7.4

$\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}$

ステップ 7.5

$4$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例