微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x e^{2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{e^{2 y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (x e^{2 y})$

ステップ 1.2

$e^{2 y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$e^{2 y}$ を $x e^{2 y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} x)$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} x)$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{2 y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{2 y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{- 2 y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- 2 y} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.2

$u = - 2 y$ とします。次に $d u = - 2 d y$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = - 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- 2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int x d x$

ステップ 2.2.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.8

$u$ のすべての発生を $- 2 y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$e^{- 2 y}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$e^{- 2 y}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{- 2 y} = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$e^{- 2 y} = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$e^{- 2 y} = - x^{2} - 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- x^{2} - 2 K)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$- 2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 2 y})$ を展開します。

$- 2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} - 2 K)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} - 2 K)$

ステップ 3.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$

ステップ 3.5

$- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{\ln (- x^{2} + K)}{2}$

微分積分 例

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