微分積分例

$\frac{d y}{d t} + y = e^{- t}$

ステップ 1

$P (t) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{t}$ を掛けます。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} e^{- t}$

ステップ 2.2

指数を足して $e^{t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t - t}$

ステップ 2.2.2

$t$ から $t$ を引きます。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{0}$

ステップ 2.3

$e^{0}$ を簡約します。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$

ステップ 2.4

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$ の因数を並べ替えます。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = 1$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = 1$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{t} y = \int d t$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$e^{t} y = t + C$

ステップ 7

$e^{t} y = t + C$ の各項を $e^{t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{t} y = t + C$ の各項を $e^{t}$ で割ります。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

微分積分 例

微分積分例