微分積分例

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = x y + x^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y + x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

ステップ 2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

ステップ 3

$N (x, y) = x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x = 2 x$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x = 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{x - (2 x)}{N}$

ステップ 5.3

$x^{2}$ を $N$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$x^{2}$ を $N$ に代入します。

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ を $x - 1 \cdot 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.3

$x$ を $- 1 \cdot 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 5.3.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$x$ を $x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x}$

ステップ 5.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

ステップ 6.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

ステップ 6.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

ステップ 7

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x y + x^{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.2

$x y + x^{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.3

$x$ を $x y + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.3.3

$x$ を $x (y) + x \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.2

$y + x$ を $1$ で割ります。

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7.5

$x^{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

ステップ 7.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

ステップ 7.6.3

式を書き換えます。

$(y + x) d x + x d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x d y$

ステップ 9

$N (x, y) = x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x y + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x y + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

ステップ 12.2

総和則では、 $x y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

ステップ 12.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

ステップ 12.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

ステップ 12.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 13.1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

ステップ 13.1.2

$y + x - y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.2.1

$y$ から $y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

ステップ 13.1.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 14

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 14.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例