微分積分例

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [3 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.5.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

ステップ 1.6

$6 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

ステップ 1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$4 y + 3 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

ステップ 1.7.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

ステップ 2

$N (x, y) = x (x + 2 y - 1)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y - 1)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 2 y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1] + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x + 2 y - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \cdot 1$

ステップ 2.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$x + 2 y - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y - 1$

ステップ 2.3.8.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x + 4 y - 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x + 2 y - 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 x + 4 y - 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x + 2 y - 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

ステップ 4.3

$x (x + 2 y - 1)$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x (x + 2 y - 1)$ を $N$ に代入します。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2.3

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2.4

$4 y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.2.5

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.3

$x + 2 y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | x | + C$

ステップ 6

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$ の両辺に積分因子 $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ に $x$ をかけます。

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$x$ を移動させます。

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.3.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$x$ を移動させます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.4

$x (x + 2 y - 1)$ に $x$ をかけます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) x d y = 0$

ステップ 6.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ を移動させます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x \cdot x (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x^{2} (x + 2 y - 1) d y = 0$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

ステップ 6.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

ステップ 6.7.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

ステップ 6.7.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

ステップ 6.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

ステップ 6.7.3

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.8

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

ステップ 8.3

$2 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $2 x^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

ステップ 8.5

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

ステップ 8.6

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

ステップ 8.7

簡約します。

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.2

総和則では、 $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{3} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.3.3

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.4.3

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.6

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 11.7

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $2 y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

ステップ 12.1.3

方程式の両辺に $2 x y$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

ステップ 12.1.4

$2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.4.1

$3 x^{2} y$ から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

ステップ 12.1.4.2

$2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

ステップ 12.1.4.3

$2 y^{2} x$ から $2 y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

ステップ 12.1.4.4

$- 2 y x + 6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

ステップ 12.1.4.5

$- 2 y x$ と $2 x y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

ステップ 12.1.4.6

$- 2 x y$ と $2 x y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

ステップ 12.1.4.7

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

ステップ 13

$6 x^{2}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 13.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

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ステップ 13.5.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

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ステップ 13.5.2.1

$6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$g (x) = 2 x^{3} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例