微分積分例

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = 4 \cos (6 x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 4 \cos (6 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 \cos (6 x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 \cos (6 x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int \cos (6 x) d x$

ステップ 2.3.2

$u = 6 x$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 6 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 \int \cos (u) \frac{1}{6} d u$

ステップ 2.3.3

$\cos (u)$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\cos (u)}{6} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{6} \int \cos (u) d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{6}$ と $4$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{4}{6} \int \cos (u) d u$

ステップ 2.3.5.2

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 (2)}{6} \int \cos (u) d u$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \cos (u) d u$

ステップ 2.3.6

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (\sin (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \sin (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \sin (6 x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{3} \sin (6 x) + K$

微分積分 例

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