微分積分例

$(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 1]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.5

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

ステップ 1.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

ステップ 1.6.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = 2 x - 2 y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 y = 2 x - 2 y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} - 2 x y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} - 2 x y$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.4

$2 y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5

$2$ を $- 2 x + 4 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5.2

$2$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (2 y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

ステップ 4.3.4

$- x + 2 y$ と $x - 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (x) - (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.4

$- (x - 2 y)$ を $- 1 (x - 2 y)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.6

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

ステップ 4.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{x}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 6

$(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{2} + y^{2} + 1$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$(x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.2

$x^{2} + y^{2} + 1$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.3

$x^{2} - 2 x y$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.4

$x^{2} - 2 x y$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5

$x$ を $x^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.6.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数を複数の分数に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

ステップ 8.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

ステップ 8.3.1.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

ステップ 8.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

ステップ 8.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

ステップ 8.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

ステップ 8.6

$\frac{2}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{2}{x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

ステップ 8.7

括弧を削除します。

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

ステップ 8.8

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.9

簡約します。

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{x}$ をかけます。

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

ステップ 8.10.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

ステップ 8.10.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

ステップ 8.10.3

$y^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

総和則では、 $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.2.2

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{y^{2}}{x}$ の微分係数は $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.3.5

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.5.2.2

$0$ と $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2} + 1)}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0 - 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$\frac{d g}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 12.1.2

分子を0に等しくします。

$\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1 = 0$

ステップ 12.1.3

$\frac{d g}{d x}$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 1 = x^{2}$

ステップ 12.1.3.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$

ステップ 12.1.3.2

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.1

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 12.1.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 12.1.3.2.2.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 12.1.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 12.1.3.2.3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.3.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 12.1.3.2.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 13

$1 + \frac{1}{x^{2}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 13.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 13.4

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 13.5

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (x) = x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 13.6

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 13.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (x) = x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 13.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = x + C + \int x^{- 2} d x$

ステップ 13.7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$g (x) = x + C - x^{- 1} + C$

ステップ 13.8

簡約します。

$g (x) = x - \frac{1}{x} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + x - \frac{1}{x} + C$

微分積分 例

微分積分例