微分積分例

$(- 3 x + y + 6) d x + (x + y + 2) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = - 3 x + y + 6$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 3 x + y + 6]$

ステップ 1.2

総和則では、 $- 3 x + y + 6$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- 3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 1.3

$- 3 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 1.5

$6$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

ステップ 1.6

項をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

ステップ 1.6.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x + y + 2$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y + 2]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + y + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

ステップ 2.6

項をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 2.6.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = 1$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 = 1$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - 3 x + y + 6 d x$

ステップ 5

$M (x, y) = - 3 x + y + 6$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int - 3 x d x + \int y d x + \int 6 d x$

ステップ 5.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - 3 \int x d x + \int y d x + \int 6 d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x + \int 6 d x$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C + \int 6 d x$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C + \int 6 d x$

ステップ 5.6

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C + 6 x + C$

ステップ 5.7

簡約します。

$f (x, y) = - \frac{3 x^{2}}{2} + y x + 6 x + C$

ステップ 5.8

簡約します。

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ステップ 5.8.1

項を並べ替えます。

$f (x, y) = - (\frac{3}{2} x^{2}) + y x + 6 x + C$

ステップ 5.8.2

括弧を削除します。

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y + 2$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.2

微分します。

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ステップ 8.2.1

総和則では、 $- \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.2.2

$- \frac{3}{2} x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$0 + x + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.4

$6 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6 x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + x + 0 + \frac{d g}{d y} = x + y + 2$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

項をまとめます。

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ステップ 8.6.1.1

$0$ と $x$ をたし算します。

$x + 0 + \frac{d g}{d y} = x + y + 2$

ステップ 8.6.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$x + \frac{d g}{d y} = x + y + 2$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x = x + y + 2$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x + y + 2 - x$

ステップ 9.1.2

$x + y + 2 - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y + 2 + 0$

ステップ 9.1.2.2

$y + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = y + 2$

ステップ 10

$y + 2$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = y + 2$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y + 2 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y + 2 d y$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int y d y + \int 2 d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int 2 d y$

ステップ 10.5

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + 2 y + C$

ステップ 10.6

簡約します。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

ステップ 11

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

$x^{2}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + y x + 6 x + \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

ステップ 12.2

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = - \frac{3 \cdot x^{2}}{2} + y x + 6 x + \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{3 x^{2}}{2} + y x + 6 x + \frac{y^{2}}{2} + 2 y + C$

微分積分 例

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