微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $x^{4} - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.1.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.1.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.1.6.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.1.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$y^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

ステップ 1.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

ステップ 1.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

ステップ 1.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.3.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

ステップ 1.3.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ を展開します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.1.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.2

$- 1$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.3

$- 1 x^{3}$ を $- x^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.5

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.6

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.7

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.8

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.9

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.10

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.5.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

ステップ 1.3.6

$x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.6.1

$- x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

ステップ 1.3.6.2

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

ステップ 1.3.6.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

ステップ 1.3.6.4

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

ステップ 1.3.6.5

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

ステップ 1.3.6.6

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$

微分積分 例

微分積分例