微分積分例

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = - (y - 2 x y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (y - 2 x y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

ステップ 2.3

総和則では、 $y - 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

ステップ 2.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.6

$- 2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

ステップ 2.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = 2 y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = 2 y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

ステップ 4.3

$- (y - 2 x y)$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- (y - 2 x y)$ を $N$ に代入します。

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $y - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

ステップ 4.3.3.3

$y$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

ステップ 4.3.3.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

ステップ 4.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

ステップ 4.3.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{2}{1 - 2 x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

ステップ 5.2

$u = 1 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$u = 1 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$1 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 5.2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 5.2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 5.2.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 5.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

ステップ 5.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

ステップ 5.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

ステップ 5.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 5.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2.3

式を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 5.9

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

ステップ 5.10

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

ステップ 5.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| 1 - 2 x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

ステップ 5.11.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

ステップ 5.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

ステップ 6

$1$ に $\frac{1}{1 - 2 x}$ をかけます。

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - y d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

ステップ 11.3

$- \frac{1}{2} y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{1}{2} y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

ステップ 11.5

$0$ と $\frac{d g}{d x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

ステップ 12

$\frac{1}{1 - 2 x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

ステップ 12.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

ステップ 12.3

$u = 1 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$u = 1 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

$1 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 12.3.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 12.3.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 12.3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 12.3.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 12.3.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 12.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 12.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 12.4.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 12.4.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

ステップ 12.4.4

$2$ に $u$ をかけます。

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 12.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 12.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 12.7

括弧を削除します。

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 12.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 12.9

簡約します。

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 12.10

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x$ で置き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

ステップ 13

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

ステップ 14.1.2

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.1

$\ln (| 1 - 2 x |)$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

ステップ 14.1.2.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ を簡約します。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14.2

$- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 14.3

$- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

ステップ 14.5.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2

${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

ステップ 14.5.3

簡約します。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例