微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

ステップ 2.3.2

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

ステップ 2.3.3

$\cos (u)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

ステップ 2.3.5

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

ステップ 2.3.6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2

簡約します。

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ステップ 2.3.8.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.10

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$

微分積分 例

微分積分例