微分積分例

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x^{2} y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + y (2 x)$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.5

括弧を削除します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

ステップ 1.6

$y$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 5.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

ステップ 5.4

簡約します。

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

ステップ 6

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1

$x$ を $\ln (x) x$ で因数分解します。

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7

初期条件を利用し、 $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ の $1$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

ステップ 8

$C$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ として書き換えます。

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

ステップ 8.2

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

ステップ 8.2.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

ステップ 8.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

ステップ 8.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.4.1

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

ステップ 8.2.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

ステップ 8.2.4.3

$C$ を $1$ で割ります。

$- 1 + C = 2$

ステップ 8.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$C = 2 + 1$

ステップ 8.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$C = 3$

ステップ 9

$3$ を $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$3$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

微分積分 例

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