微分積分例

$(y^{2} - x^{2}) d x + x (y d) y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{2} - x^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $y^{2} - x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 1.4

$- x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

ステップ 1.5

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

ステップ 2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 y = y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 y - y}{N}$

ステップ 4.3

$x y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x y$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 y - y}{x y}$

ステップ 4.3.2

$2 y$ から $y$ を引きます。

$\frac{y}{x y}$

ステップ 4.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | x | + C$

ステップ 6

$(y^{2} - x^{2}) d x + x y d y = 0$ の両辺に積分因子 $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y^{2} - x^{2}$ に $x$ をかけます。

$(y^{2} - x^{2}) x d x + x y d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(y^{2} x - x^{2} x) d x + x y d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ を移動させます。

$(y^{2} x - (x \cdot x^{2})) d x + x y d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(y^{2} x - (x^{1} x^{2})) d x + x y d y = 0$

ステップ 6.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(y^{2} x - x^{1 + 2}) d x + x y d y = 0$

ステップ 6.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x y d y = 0$

ステップ 6.4

$x y$ に $x$ をかけます。

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x y x d y = 0$

ステップ 6.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ を移動させます。

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x \cdot x y d y = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x^{2} y d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x^{2} y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $x^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3.3

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.3

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.5

$2$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.6

$\frac{2 y^{2}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.3.7.2

$y^{2} x$ を $1$ で割ります。

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = y^{2} x - x^{3}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x - x^{3} - y^{2} x$

ステップ 12.1.2

$y^{2} x - x^{3} - y^{2} x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$y^{2} x$ から $y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$- x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

ステップ 13

$- x^{3}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - x^{3} d x$

ステップ 13.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int x^{3} d x$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 13.5

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 15.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 15.3

$x^{4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$

微分積分 例

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