微分積分例

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

ステップ 1.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x \cos^{2} (y)$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

ステップ 1.3

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = \cos (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (y)$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $\cos (y)$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

ステップ 1.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

ステップ 1.5

$y$ に関する $\cos (y)$ の微分係数は $- \sin (y)$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

ステップ 1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

ステップ 2

$N (x, y) = \tan (y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

ステップ 2.2

$\tan (y)$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\tan (y)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 2 x \cos (y) \sin (y)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$- 2 x \cos (y) \sin (y)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

ステップ 4.3

$x \cos^{2} (y)$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$x \cos^{2} (y)$ を $M$ に代入します。

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ と $x \cos (y) \sin (y)$ を並べ替えます。

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.3

括弧を付けます。

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.4

括弧を付けます。

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.5

$\cos (y)$ と $\sin (y) \cdot 2$ を並べ替えます。

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.6

$\sin (y)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.7

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.2.8

$0$ と $x \sin (2 y)$ をたし算します。

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.5

$\cos (y)$ と $\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

$\cos (y)$ を $2 \sin (y) \cos (y)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

ステップ 4.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.2.1

$\cos (y)$ を $\cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

ステップ 4.3.6

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

ステップ 4.3.7

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ を $\tan (y)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \tan (y)$

ステップ 4.3.8

$x \cos^{2} (y)$ を $M$ に代入します。

$2 \tan (y)$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

ステップ 5.2

$\tan (y)$ の $y$ に関する積分は $\ln (| \sec (y) |)$ です。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| \sec (y) |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

ステップ 5.4.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| \sec (y) |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

ステップ 6

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\sec^{2} (y)$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x \cos^{2} (y)$ に $\sec^{2} (y)$ をかけます。

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.2

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (y)}$ に当てはめます。

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.4

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$\cos^{2} (y)$ を $x \cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.5

1のすべての数の累乗は1です。

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.6

$x$ に $1$ をかけます。

$x d x + \tan (y) d y = 0$

ステップ 6.7

$\tan (y)$ に $\sec^{2} (y)$ をかけます。

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x d x$

ステップ 8

$M (x, y) = x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

ステップ 11.3

$\frac{1}{2} x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

ステップ 11.5

$0$ と $\frac{d g}{d y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

ステップ 12

$\tan (y) \sec^{2} (y)$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

ステップ 12.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

ステップ 12.3

$u = \sec (y)$ とします。次に $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ すると、 $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.3.1

$u = \sec (y)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 12.3.1.1

$\sec (y)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

ステップ 12.3.1.2

$y$ に関する $\sec (y)$ の微分係数は $\sec (y) \tan (y)$ です。

$\sec (y) \tan (y)$

ステップ 12.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = \int u d u$

ステップ 12.4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

ステップ 12.5

$u$ のすべての発生を $\sec (y)$ で置き換えます。

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

ステップ 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

ステップ 14

各項を簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

ステップ 14.2

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (y)$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$

微分積分 例

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