微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - 3 \sec^{2} (x - 7)$ , $y (7) = 7$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (x - 7) d x$

ステップ 2.3.2

$u = x - 7$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = x - 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x - 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.2.1.4

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (u) d u$

ステップ 2.3.3

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$y + C_{1} = - 3 (\tan (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = - 3 \tan (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $x - 7$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - 3 \tan (x - 7) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - 3 \tan (x - 7) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ の $7$ を $x$ に、 $7$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$7 = - 3 \tan (7 - 7) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$ として書き換えます。

$- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 3 \tan (7 - 7) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$7$ から $7$ を引きます。

$- 3 \tan (0) + K = 7$

ステップ 4.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.2.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 3 \cdot 0 + K = 7$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$0 + K = 7$

ステップ 4.2.1.3

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 7$

ステップ 5

$7$ を $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$7$ を $K$ に代入します。

$y = - 3 \tan (x - 7) + 7$

微分積分 例

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