微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 4}{5 x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y - 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

ステップ 1.2

$y - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 4} d y = \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y - 4$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y - 4$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 4$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y - 4$ で置き換えます。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 4 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{5}$ と $\ln (| x |)$ をまとめます。

$\ln (| y - 4 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y - 4 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

ステップ 3.3

$\ln (| y - 4 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\ln (| y - 4 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (| y - 4 |)$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

ステップ 3.5

$5$ を $\ln (| y - 4 |)$ の左に移動させます。

$\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

ステップ 3.6

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (| y - 4 |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| y - 4 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

ステップ 3.6.1.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

ステップ 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5}$ を $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}) = C$

ステップ 3.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

ステップ 3.6.1.4

積の法則を $\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.5.1

${({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.2

簡約します。

$\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

ステップ 3.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

ステップ 3.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 3.9

$y$ について解きます。

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ステップ 3.9.1

方程式を $\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

ステップ 3.9.2

両辺に ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ を掛けます。

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 3.9.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

${| x |}^{\frac{1}{5}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 3.9.3.1.2

式を書き換えます。

$| y - 4 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 3.9.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.9.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - 4 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 3.9.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

微分積分 例

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