微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 5$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int x d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(0, - 5)$ で負なので、 $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $x$ に、 $- 5$ を $y$ に代入します。

$- 5 = - \sqrt{0^{2} + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $- \sqrt{0^{2} + K} = - 5$ として書き換えます。

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 5$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{0^{2} + K}$ を ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3

積の法則を $- K^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.5

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.6

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.6.2.2

式を書き換えます。

$K^{1} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.7

簡約します。

$K = {(- 5)}^{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$K = 25$

ステップ 7

$25$ を $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$25$ を $K$ に代入します。

$y = - \sqrt{x^{2} + 25}$

微分積分 例

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