微分積分例

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + \ln (x)) d x$ を引きます。

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.3

$u = \ln (y)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$y$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.4.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

簡約します。

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$y$ から $y$ を引きます。

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.6.2.2

$\ln (y) y$ と $0$ をたし算します。

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

ステップ 2.3.4

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

ステップ 2.3.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$

微分積分 例

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