微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} \ln (x)}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = 4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.2

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.3

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.6

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.4

$4$ と $\frac{\sqrt{y}}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.3.5

$\sqrt{y}$ と $\frac{\ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$

ステップ 1.3.6

$\frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ に $\frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} (\sqrt{y} \ln (x))}{y x}$

ステップ 1.3.6.2

$\ln (x)$ と $4$ を並べ替えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot \ln (x) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

ステップ 1.3.6.3

対数の中の $4$ を移動させて $4 \cdot \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

ステップ 1.3.6.4

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y x}$

ステップ 1.3.6.5

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y x}$

ステップ 1.3.6.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y x}$

ステップ 1.3.6.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{2}}{y x}$

ステップ 1.3.7

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y x}$

ステップ 1.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y x}$

ステップ 1.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

ステップ 1.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

ステップ 1.3.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{1}}{y x}$

ステップ 1.3.7.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y}{y x}$

ステップ 1.3.8

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{4})$ を展開します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

ステップ 1.3.9

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

ステップ 1.3.9.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x)}{x}$

ステップ 1.3.10

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4})}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\ln (x^{4})}{x}$ を $\frac{4 \ln (x)}{x}$ に書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.3.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int u d u$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ を $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln^{2} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\ln^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln^{2} (x) + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.2

簡約します。

$y = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {(\ln^{2} (x) + K)}^{2}$

微分積分 例

微分積分例