微分積分例

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x + 1 - x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

ステップ 2.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- y + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = - y + 2$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = - y + 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- y + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

ステップ 4.3

$y$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

ステップ 4.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{- y + 1}{y}$

ステップ 4.3.3

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{- (y) + 1}{y}$

ステップ 4.3.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

ステップ 4.3.5

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (y - 1)}{y}$

ステップ 4.3.6

$- (y - 1)$ を $- 1 (y - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

ステップ 4.3.7

$y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{y - 1}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

ステップ 5.2

$y - 1$ を $y$ で割ります。

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ステップ 5.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y$

$1$

ステップ 5.2.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

ステップ 5.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

ステップ 5.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

ステップ 5.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.3

単一積分を複数積分に分割します。

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.6

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

ステップ 5.7

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

ステップ 6

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- y + \ln (y)}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y$ に $e^{- y + \ln (y)}$ をかけます。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.2

$2 x + 1 - x y$ に $e^{- y + \ln (y)}$ をかけます。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

ステップ 6.4

$e^{- y + \ln (y)}$ に $1$ をかけます。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.2

総和則では、 $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y e^{- y + \ln (y)} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.2

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.3

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y + \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- y + \ln (y)$ とします。

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- y + \ln (y)$ で置き換えます。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.4

総和則では、 $- y + \ln (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ です。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.7

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.3.10

$e^{- y + \ln (y)}$ に $1$ をかけます。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.3.2

$- 1$ を $e^{- y + \ln (y)} x y$ の左に移動させます。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.3.1

$y$ を $e^{- y + \ln (y)} x y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.3.4

$- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ を $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ に書き換えます。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.4

$e^{- y + \ln (y)} x$ と $e^{- y + \ln (y)} x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 11.5.5

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 12.1.2

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$2 x e^{- y + \ln (y)}$ から $2 x e^{- y + \ln (y)}$ を引きます。

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 12.1.2.2

$- x y e^{- y + \ln (y)}$ と $0$ をたし算します。

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 12.1.2.3

$- x y e^{- y + \ln (y)}$ と $x y e^{- y + \ln (y)}$ をたし算します。

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 12.1.2.4

$0$ から $e^{- y + \ln (y)}$ を引きます。

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 12.1.3

$\frac{d g}{d y}$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 12.1.4

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

ステップ 12.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

ステップ 12.1.4.2.2

$\frac{d g}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

ステップ 12.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

ステップ 12.1.4.3.2

$e^{- y + \ln (y)}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 13

$e^{- y + \ln (y)}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

ステップ 13.3

$\int e^{- y + \ln (y)} d y$ を $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ に書き換えます。

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

ステップ 13.4

$e^{\ln (y)}$ を $y$ に書き換えます。

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

ステップ 13.5

$u = y$ と $d v = e^{- y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

ステップ 13.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

ステップ 13.7

簡約します。

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ステップ 13.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

ステップ 13.7.2

$\int e^{- y} d y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

ステップ 13.8

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.8.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 13.8.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 13.8.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 13.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 13.8.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 13.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

ステップ 13.9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

ステップ 13.10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

ステップ 13.11

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ を $- y e^{- y} - e^{u} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

ステップ 13.12

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$

微分積分 例

微分積分例