微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 50$

ステップ 1

$P (x) = 5$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 5 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{5 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{5 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{5 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{5 x}$ を掛けます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} \cdot 50$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} \cdot 50$

ステップ 2.3

$50$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 50 \cdot e^{5 x}$

ステップ 2.4

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 50 e^{5 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 50 e^{5 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 50 e^{5 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 50 e^{5 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{5 x} y = \int 50 e^{5 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$50$ は $x$ に対して定数なので、 $50$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = 50 \int e^{5 x} d x$

ステップ 6.2

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 6.2.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{5 x} y = 50 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 6.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 50 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 6.4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = 50 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$\frac{1}{5}$ と $50$ をまとめます。

$e^{5 x} y = \frac{50}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2

$50$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$5$ を $50$ で因数分解します。

$e^{5 x} y = \frac{5 \cdot 10}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$e^{5 x} y = \frac{5 \cdot 10}{5 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{5 x} y = \frac{5 \cdot 10}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{5 x} y = \frac{10}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.4

$10$ を $1$ で割ります。

$e^{5 x} y = 10 \int e^{u} d u$

ステップ 6.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{5 x} y = 10 (e^{u} + C)$

ステップ 6.7

簡約します。

$e^{5 x} y = 10 e^{u} + C$

ステップ 6.8

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$e^{5 x} y = 10 e^{5 x} + C$

ステップ 7

$e^{5 x} y = 10 e^{5 x} + C$ の各項を $e^{5 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{5 x} y = 10 e^{5 x} + C$ の各項を $e^{5 x}$ で割ります。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{10 e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{10 e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{10 e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{10 e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.3.1.2

$10$ を $1$ で割ります。

$y = 10 + \frac{C}{e^{5 x}}$

微分積分 例

微分積分例