微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2

$\sec^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ を ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ に書き換えます。

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.3

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.5

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

半角公式を利用して $\cos^{2} (y)$ を $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$u = 2 y$ とします。次に $d u = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.6.1

$u = 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.6.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 2.2.6.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2.6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.7

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.10

簡約します。

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.11

$u$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.12

簡約します。

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ステップ 2.2.12.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 y)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.12.3

$\frac{1}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.12.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.12.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 y)}{2}$ をかけます。

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.12.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{4}$ です。

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$

微分積分 例

微分積分例