微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4} - \frac{1}{3} y$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) y^{4} - \frac{1}{3} y$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{3} y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) y^{4}$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) y^{4}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{4}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 3}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{- \frac{1}{3}}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{- \frac{1}{3}}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 5.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 5.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{3}}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.4.4.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.5.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.5.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.10

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.11

$\frac{1}{3}$ と $v^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $v^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.14

$\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ と $v'$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.15

$\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ を積として書き換えます。

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 5.16

$\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.17

指数を足して $v^{\frac{2}{3}}$ に $v^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.17.1

$v^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.17.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 5.17.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 5.17.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) y^{4}$ の $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- \frac{1}{3}}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ の各項に $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ の各項に $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$3 v^{\frac{4}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.1.2

$3 v^{\frac{4}{3}}$ を $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.4

指数を足して $v^{- \frac{1}{3}}$ に $v^{\frac{4}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.4.1

$v^{\frac{4}{3}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.4.4

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.4.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.5

$\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.6

$\frac{1}{3}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.7.1

$3$ を $- 1 \cdot (3)$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.7.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.8

$- 1$ を $v$ の左に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.2.1.9

$- 1 v$ を $- v$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (3 (\frac{1}{3}) x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (3 (\frac{1}{3}) x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (3 (\frac{1}{3}) x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (1 x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 3 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.3.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x + 3 (- 1) \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.3

${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.3.2

$- \frac{1}{3} \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.3.3.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.3.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.4

指数を足して $v^{- \frac{4}{3}}$ に $v^{\frac{4}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.4.1

$v^{\frac{4}{3}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

ステップ 7.1.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

ステップ 7.1.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

ステップ 7.1.3.4.4

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{0}{3}}$

ステップ 7.1.3.4.5

$0$ を $3$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{0}$

ステップ 7.1.3.5

$(- 3 x - 1) v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

ステップ 7.2

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 7.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 7.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 7.3.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 7.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

ステップ 7.3.4

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.3

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.5.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.6

$u_{1} = - x$ とします。次に $d u_{1} = - d x$ すると、 $- d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.6.1

$u_{1} = - x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.6.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.7.6.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.7.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.7.6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.7.6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.7

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.8

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 7.7.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

ステップ 7.7.10

$u_{2} = - x$ とします。次に $d u_{2} = - d x$ すると、 $- d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.10.1

$u_{2} = - x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.10.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.7.10.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.7.10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.7.10.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.7.10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.7.11

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.7.12

簡約します。

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ステップ 7.7.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.7.12.2

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.7.13

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.7.14

簡約します。

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.7.15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 7.7.15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.7.15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

ステップ 7.8

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.8.1

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.8.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.8.3.2.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.3.2.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.3.2.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

ステップ 7.8.3.3

$3 e^{- x}$ と $e^{- x}$ をたし算します。

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

ステップ 8

$y^{- 3}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

微分積分 例

微分積分例