微分積分例

$2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$2 y d y = - 4 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 y d y = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y d y = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

ステップ 2.2.3.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$y^{2} + C_{1} = - 4 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$y^{2} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{2} = - 2 x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

ステップ 3.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

ステップ 3.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

ステップ 3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

微分積分 例

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