微分積分例

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ の各項を $x^{2} - 1$ で割ります。

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.2

$x^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.3

$y$ を $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.4

$y$ と $\frac{2}{x^{2} - 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{x^{2} - 1}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

ステップ 2.2.2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.2.2.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.2.2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 2.2.2.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (x - 1)$ です。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.7.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7.1.2

$(A) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.7.5.2

$(B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

ステップ 2.2.2.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.7.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A x - A + B x + B$

ステップ 2.2.2.1.8

$- A$ を移動させます。

$1 = A x + B x - A + B$

ステップ 2.2.2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2.2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.2.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.2.1

$- 1 (- B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.3

$1 = 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.3.1

方程式を $2 B = 1$ として書き換えます。

$2 B = 1$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.3.2

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.3.2.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 2.2.2.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.4.2.1

$- 1$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.5.2

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.5.3

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.5.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 2.2.6

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

ステップ 2.2.9

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.2.9.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.9.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

ステップ 2.2.10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

ステップ 2.2.11

簡約します。

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

ステップ 2.2.12

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

ステップ 2.2.12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

ステップ 2.2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

ステップ 2.2.13.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x - 1 |)$ をまとめます。

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

ステップ 2.2.13.2

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

ステップ 2.2.13.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1

共通因数を約分します。

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

ステップ 2.2.13.3.2

式を書き換えます。

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

ステップ 2.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

ステップ 2.6

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

ステップ 2.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

ステップ 2.8

$\frac{1}{x + 1}$ に $x - 1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{x + 1}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{x - 1}{x + 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{x - 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.3

$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.4

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$x - 1$ を $(x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.5

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{2 y}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.6

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.7

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.3

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + 1)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.4.2

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.4.3

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.2

$- 1 \frac{d y}{d x}$ を $- \frac{d y}{d x}$ に書き換えます。

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4.2

$x \frac{d y}{d x}$ から $\frac{d y}{d x} x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.2.1

$\frac{d y}{d x}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4.2.2

$x \frac{d y}{d x}$ から $x \frac{d y}{d x}$ を引きます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.6.4.3

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.7

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.7.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 3.8.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3.9

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$x - 1$ を $(x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 3.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 3.9.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 3.10

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 3.10.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{x - 1}{x + 1} y$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

ステップ 8.1.2

$\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

ステップ 8.2

両辺に $x + 1$ を掛けます。

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3.1.1.1.1.2

式を書き換えます。

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3.1.1.1.3

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3.1.1.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3.1.1.3

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$(x + C) (x + 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + C) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

ステップ 8.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

ステップ 8.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

ステップ 8.3.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

ステップ 8.3.2.1.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

ステップ 8.3.2.1.2.1.3

$C$ に $1$ をかけます。

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

ステップ 8.3.2.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

ステップ 8.3.2.1.2.2.2

$x^{2}$ と $C x$ を並べ替えます。

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

ステップ 8.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$y$ を $x y - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

ステップ 8.4.1.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

ステップ 8.4.1.3

$y$ を $y x + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

ステップ 8.4.2

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.1.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.1.2

$x$ を $C x + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.1.2.1

$x$ を $C x$ で因数分解します。

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.1.2.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.1.2.3

$x$ を $x C + x \cdot x$ で因数分解します。

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.4.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.4.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

ステップ 8.4.2.3.4.2

最大公約数 $C + x$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$

微分積分 例

微分積分例