微分積分例

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 1.2

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 1.3

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 1.3.2

$2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 3.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{e^{x}}$ をまとめます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

ステップ 3.4

$e^{2 x}$ と $e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$e^{x}$ を $e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

ステップ 3.4.2.4

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

ステップ 3.5

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

ステップ 7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

ステップ 8

$e^{2 x} y = e^{x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 x} y = e^{x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{2 x}$ を $e^{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

微分積分 例

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