微分積分例

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x + 3 y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + 3 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

ステップ 1.2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

ステップ 1.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

ステップ 2

$N (x, y) = - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 = - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 = - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 + 1}{N}$

ステップ 4.3

$- x$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- x$ を $N$ に代入します。

$\frac{3 + 1}{- x}$

ステップ 4.3.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{- x}$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

ステップ 5.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 4}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 6

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x + 3 y$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

ステップ 6.2

$x + 3 y$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

ステップ 6.3

$- x$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.4.4

式を書き換えます。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

ステップ 8.2

$y$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{y}{x^{3}}$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.3.8

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

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ステップ 11.5.2.1

$3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.5.2.2

$y$ と $\frac{3}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.5.2.3

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$3 y - x - 3 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$3 y$ から $3 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{x^{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 13

$\frac{1}{x^{3}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 13.3

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 13.4

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 13.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

ステップ 13.5

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

ステップ 13.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 13.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

ステップ 13.6.2.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

ステップ 13.6.2.3

$2$ に $x^{2}$ をかけます。

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例