微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$ の特性方程式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

ステップ 2.5

$e^{r x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

ステップ 2.5.2

$e^{r x}$ を $4 r e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

ステップ 2.5.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

ステップ 2.5.4

$e^{r x}$ を $4 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4 = 2 x + 6$

ステップ 2.5.5

$e^{r x}$ を $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + 4 r + 4) = 2 x + 6$

ステップ 2.6

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} + 4 r + 4 = 2 x + 6$

ステップ 3

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x = 6$

ステップ 3.1.1.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x - 6 = 0$

ステップ 3.1.2

$4$ から $6$ を引きます。

$r^{2} + 4 r - 2 x - 2 = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = - 2 x - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.6

$16$ と $8$ をたし算します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7

$8$ を $8 x + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7.2

$8$ を $24$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7.3

$8$ を $8 x + 8 \cdot 3$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.8

$8 (x + 3)$ を $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.8.3

括弧を付けます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

ステップ 3.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ を簡約します。

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

ステップ 3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$16$ と $8$ をたし算します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7

$8$ を $8 x + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.7.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7.2

$8$ を $24$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7.3

$8$ を $8 x + 8 \cdot 3$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.8

$8 (x + 3)$ を $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.8.3

括弧を付けます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ を簡約します。

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

ステップ 3.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$16$ と $8$ をたし算します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7

$8$ を $8 x + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.7.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7.2

$8$ を $24$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7.3

$8$ を $8 x + 8 \cdot 3$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8

$8 (x + 3)$ を $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8.3

括弧を付けます。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ を簡約します。

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

ステップ 6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 (x + 3)} x}$

微分積分 例

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