微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 2 x$

ステップ 1

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

ステップ 2.4

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.2

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.3.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.5.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.6

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.7.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.7.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.9

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.9.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.9.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.10

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.11

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.13

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.14

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int x e^{2 x} d x$

ステップ 6.15

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 6.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.16.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 6.16.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 6.16.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 6.17

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 6.18

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.18.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.18.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.18.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.18.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.18.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.18.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 6.19

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 6.20

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

ステップ 6.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.21.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 6.21.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 6.22

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

ステップ 6.23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.23.1

簡約します。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

ステップ 6.23.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.23.2.1

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

ステップ 6.23.2.2

$2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 6.23.2.3

$2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 6.23.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 6.23.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.24

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.24.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.24.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.25

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.25.1

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.25.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.25.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.25.2.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.25.2.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 6.25.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.25.3.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

ステップ 6.25.3.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

ステップ 6.25.3.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.26

項を並べ替えます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x}) + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

ステップ 7.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

ステップ 7.1.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

ステップ 7.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.2.1

$2$ を $2 x e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

ステップ 7.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

ステップ 7.1.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

ステップ 7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.3

$x e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.4

$e^{2 x} x$ から $\frac{e^{2 x}}{2}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$e^{2 x}$ と $x$ を並べ替えます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.4.2

$x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.4.3

$x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.5

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.6

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.7

$e^{2 x}$ を $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.7.1

$e^{2 x}$ を $x^{2} e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.7.2

$e^{2 x}$ を $2 x e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.1.7.3

$e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

ステップ 7.1.7.4

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

ステップ 7.1.7.5

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

ステップ 7.1.8

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{x}{2} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

ステップ 7.1.9

$e^{2 x}$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

ステップ 7.2

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.2.2.2

$- 1$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.2.3

$- 1 e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.3.1

$- e^{2 x} x$ と $2 e^{2 x} x$ をたし算します。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{1 e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.3.2.1

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.3.2.2

$e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.4.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.4.2.1

$e^{2 x}$ を $x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.4.2.1.1

$e^{2 x}$ を $x e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4.2.1.2

$e^{2 x}$ を $x^{2} e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4.2.1.3

$e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4.2.1.4

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4.2.1.5

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2} - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.4.2.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.5

$\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.6.1

$\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.8.1

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.8.1.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.1.2

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + (x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + x^{2} \cdot 2 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.8.3.1

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.4

$2$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 x^{2} + 2 x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.8.5

$1$ から $2$ を引きます。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.9

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{C \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.10

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.10.1

$C$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{C \cdot 4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.10.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{C \cdot 4 + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.11.1

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{4 \cdot C + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.11.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{4 C + e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.11.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.11.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.11.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.11.3.3

$- 1$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.11.4

各項を簡約します。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.12

$\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.13

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.14

$\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}$ に $\frac{1}{e^{2 x}}$ をかけます。

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4 e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例