微分積分例

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ の各項を $x e^{- t}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ の各項を $x e^{- t}$ で割ります。

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

ステップ 1.1.2.2

$e^{- t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d x}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $x$ を掛けます。

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

まとめる。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

ステップ 1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $e^{- t} x$ で因数分解します。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

ステップ 1.4.3

$t$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$e^{- t}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

ステップ 2.3.1.2

${(e^{- t})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

ステップ 2.3.1.2.2

$- t \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

ステップ 2.3.1.2.2.2

$t$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.3.2

$u = t$ と $d v = e^{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

ステップ 2.3.3

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

ステップ 3.4

$2$ を $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $2 t e^{t}$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $- 2 e^{t}$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

ステップ 3.4.4

$2$ を $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

ステップ 3.4.5

$2$ を $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

ステップ 4

$x$ が初期条件 $(0, 1)$ で正なので、 $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $t$ に、 $1$ を $x$ に代入します。

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

ステップ 5

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ として書き換えます。

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

ステップ 5.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

ステップ 5.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ を ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

$0$ に $1$ をかけます。

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ から $1$ を引きます。

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.3.2

簡約します。

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 + 2 K = 1$

ステップ 5.4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 K = 1 + 2$

ステップ 5.4.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 K = 3$

ステップ 5.4.2

$2 K = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$2 K = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{3}{2}$

ステップ 6

$\frac{3}{2}$ を $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{3}{2}$ を $K$ に代入します。

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

ステップ 6.3

$e^{t} t$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

ステップ 6.4

$e^{t} t$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

ステップ 6.5

公分母の分子をまとめます。

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

ステップ 6.6

$2$ を $e^{t} t$ の左に移動させます。

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

ステップ 6.7

$- e^{t}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

ステップ 6.8

$- e^{t}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

ステップ 6.9

公分母の分子をまとめます。

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

ステップ 6.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

ステップ 6.11

$2$ と $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ をまとめます。

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

ステップ 6.12

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.1.1

共通因数を約分します。

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

ステップ 6.12.1.2

式を書き換えます。

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

ステップ 6.12.2

$2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ を $1$ で割ります。

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

ステップ 6.13

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ の因数を並べ替えます。

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$

微分積分 例

微分積分例