微分積分例

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 x y + 3 y - 4$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [3 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

ステップ 1.5.2

$3 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

ステップ 2

$N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

ステップ 2.2

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

ステップ 2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

ステップ 2.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

ステップ 2.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

ステップ 2.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

ステップ 2.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

ステップ 2.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

ステップ 2.11

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x + 3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x + 3 = 2 x + 2$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 x + 3 = 2 x + 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 x + 3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

ステップ 4.3

${(x + 1)}^{2}$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

${(x + 1)}^{2}$ を $N$ に代入します。

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.4

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.5

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$x + 1$ と ${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

ステップ 4.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

ステップ 4.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x + 1}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 5.1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

ステップ 5.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | u | + C$

ステップ 5.5

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

ステップ 6

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ の両辺に積分因子 $x + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 x y + 3 y - 4$ に $x + 1$ をかけます。

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ を展開します。

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$x$ を移動させます。

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.3.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.4

$3 x y$ と $3 y x$ をたし算します。

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ステップ 6.4.1

$y$ を移動させます。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.4.2

$3 x y$ と $3 x y$ をたし算します。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 6.5

${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

ステップ 6.6

指数を足して ${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

ステップ 6.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

ステップ 6.7

二項定理を利用します。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

ステップ 6.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

ステップ 6.8.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

ステップ 6.8.3

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

ステップ 6.8.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.2

総和則では、 $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.9

$2$ に $3$ をかけます。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.10

$3$ に $1$ をかけます。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.3.11

$3 x^{2} + 6 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.5.2.2

$6$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.5.2.3

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $6 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

ステップ 12.1.3

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

ステップ 12.1.4

$3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$3 x^{2} y$ から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

ステップ 12.1.4.2

$6 x y + 3 y - 4 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

ステップ 12.1.4.3

$6 x y$ から $6 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

ステップ 12.1.4.4

$3 y - 4 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

ステップ 12.1.4.5

$3 y$ から $3 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

ステップ 12.1.4.6

$- 4 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

ステップ 13

$- 4 x - 4$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

ステップ 13.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

ステップ 13.4

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 13.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

ステップ 13.6

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

ステップ 13.7

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

ステップ 13.8

簡約します。

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

ステップ 14

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

ステップ 15.2

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$

微分積分 例

微分積分例