微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $- \frac{2 y}{x + 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.2

$y$ と $- \frac{2}{x + 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{2}{x + 1}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2.4

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.4.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.4.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x + 1)}^{- 2}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2.3

$\frac{2}{x + 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{2 y}{x + 1}$ に $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x + 1$ に ${(x + 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.2.1

$x + 1$ に ${(x + 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.2.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

ステップ 3.3

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

ステップ 7.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

ステップ 7.4

簡約します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

ステップ 8.3

両辺に ${(x + 1)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と ${(x + 1)}^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.3

$x {(x + 1)}^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.4

$x {(x + 1)}^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.6

$x {(x + 1)}^{2}$ を $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.2.1.6.1

$x {(x + 1)}^{2}$ を $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.6.2

$x {(x + 1)}^{2}$ を $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.6.3

$x {(x + 1)}^{2}$ を $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ で因数分解します。

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.7

$C {(x + 1)}^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.4.2.1.8

項を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1.8.1

$C {(x + 1)}^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

ステップ 8.4.2.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1.9.1

${(x + 1)}^{2}$ を $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.9.1.1

${(x + 1)}^{2}$ を $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9.1.2

${(x + 1)}^{2}$ を $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9.1.3

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9.3

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

ステップ 8.4.2.1.9.5

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$

微分積分 例

微分積分例