微分積分例

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 1$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 1$ の各項を $x^{4}$ で割ります。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$x^{3}$ を $2 x^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{2}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{2}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$x^{2} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} y = \int x^{- 2} d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$x^{2} y = - x^{- 1} + C$

ステップ 7.3

$- x^{- 1} + C$ を $- \frac{1}{x} + C$ に書き換えます。

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 8

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = - \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1.2.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 8.3.1.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{1}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = - \frac{1}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$

微分積分 例

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