微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

ステップ 1.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$y^{2}$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

まとめる。

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.5.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.3

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$- \frac{x}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.2

項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$x$ を $x^{2} - x \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.3.1.2

$x$ を $- x \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.3.1.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4.4

$3 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.4.5

項を簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$3 K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.6.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.6.4

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

ステップ 3.4.7

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 3.4.8

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.9.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.9.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.9.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 3.4.9.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.9.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.9.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.9.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.9.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.9.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.4.9.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 3.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.10.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.4.10.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 3.4.11

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.4.11.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

ステップ 3.4.11.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例