微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x}$

ステップ 1.1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x^{1}}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{2}}{1}$

ステップ 1.1.3.1.2.5

$- 4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} - 4 x^{2}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (\frac{2}{x} - 4 x^{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 4 x^{2} d x$

ステップ 2.3.4

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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