微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$y$ を $4 x^{3} y - y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$y$ を $4 x^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

ステップ 1.1.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

ステップ 1.1.3

$y$ を $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{x^{4} - x + C}$ を $e^{x^{4} - x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{x^{4} - x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{x^{4} - x}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{x^{4} - x}$ の $1$ を $x$ に、 $- 3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ として書き換えます。

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

ステップ 6.2

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$C e^{1 - 1} = - 3$

ステップ 6.2.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$C e^{0} = - 3$

ステップ 6.2.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C \cdot 1 = - 3$

ステップ 6.2.2.3

$C$ に $1$ をかけます。

$C = - 3$

ステップ 7

$- 3$ を $y = C e^{x^{4} - x}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$- 3$ を $C$ に代入します。

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$

微分積分 例

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