微分積分例

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 6$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $u$ を掛けます。

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

ステップ 1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$u$ を $2 u$ で因数分解します。

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 2.3.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 2.3.5

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} u^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

式を書き換えます。

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

ステップ 5

$u$ が初期条件 $(0, - 6)$ で負なので、 $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $t$ に、 $- 6$ を $u$ に代入します。

$- 6 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 6$ として書き換えます。

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 6$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ を ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.2.1

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.2.1.2.1.1

$0$ と $0$ をたし算します。

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.2.2.1

積の法則を $- K^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2.3

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2.4

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.2.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2.4.2.2

式を書き換えます。

$K^{1} = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3

簡約します。

$K = {(- 6)}^{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$K = 36$

ステップ 7

$36$ を $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$36$ を $K$ に代入します。

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 36}$

微分積分 例

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