微分積分例

$(2 x y - \sec^{2} (x)) d x + (x^{2} + 2) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y - \sec^{2} (x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - \sec^{2} (x)]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y - \sec^{2} (x)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- \sec^{2} (x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- \sec^{2} (x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

ステップ 1.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} + 2$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x = 2 x$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 x = 2 x$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 d y$

ステップ 5

$N (x, y) = x^{2} + 2$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 2 d y$

ステップ 5.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 2 d y$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{2} y + C + 2 y + C$

ステップ 5.4

簡約します。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 y + g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.2

総和則では、 $x^{2} y + 2 y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.3.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y x + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.4

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 y x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$2 y x$ と $0$ をたし算します。

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - \sec^{2} (x)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x) - 2 x y$

ステップ 9.1.2

$2 x y - \sec^{2} (x) - 2 x y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0 - \sec^{2} (x)$

ステップ 9.1.2.2

$0$ から $\sec^{2} (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - \sec^{2} (x)$

ステップ 10

$- \sec^{2} (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = - \sec^{2} (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \sec^{2} (x) d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - \sec^{2} (x) d x$

ステップ 10.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 10.4

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$g (x) = - (\tan (x) + C)$

ステップ 10.5

簡約します。

$g (x) = - \tan (x) + C$

ステップ 11

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y - \tan (x) + C$

微分積分 例

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