微分積分例

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$r$ を $r θ + r$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$r$ を $r θ$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

ステップ 1.1.2

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

ステップ 1.1.3

$r$ を $r^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

ステップ 1.1.4

$r$ を $r (θ) + r \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

ステップ 1.2

$θ$ を $r θ + θ$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$θ$ を $r θ$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

ステップ 1.2.2

$θ$ を $1$ 乗します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

ステップ 1.2.3

$θ$ を $θ^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

ステップ 1.2.4

$θ$ を $θ r + θ \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{r + 1}{r}$ を掛けます。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{r}{r + 1}$ に $\frac{θ + 1}{θ}$ をかけます。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

ステップ 1.5.2

$r + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$r + 1$ を $(r + 1) θ$ で因数分解します。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

ステップ 1.5.3

$r$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.3

$r$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.3.2

式を書き換えます。

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{r}$ の $r$ に関する積分は $\ln (| r |)$ です。

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.3.3

$θ$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.3.3.2

式を書き換えます。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{θ}$ の $θ$ に関する積分は $\ln (| θ |)$ です。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ の $1$ を $θ$ に、 $e$ を $r$ に代入し $C$ の値を求めます。

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ として書き換えます。

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

ステップ 4.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

ステップ 4.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

ステップ 4.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

ステップ 4.5

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

ステップ 4.6

$\frac{1}{e}$ を $1 e^{- 1}$ に書き換えます。

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

ステップ 4.7

$\ln (1 e^{- 1})$ を $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ に書き換えます。

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

ステップ 4.8

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

ステップ 4.9

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

ステップ 4.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

ステップ 4.11

$1$ の自然対数は $0$ です。

$0 - 1 = - 1 - C + e$

ステップ 4.12

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1 = - 1 - C + e$

ステップ 4.13

$C$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 1 - C + e = - 1$

ステップ 4.14

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- C + e = - 1 + 1$

ステップ 4.14.2

方程式の両辺から $e$ を引きます。

$- C = - 1 + 1 - e$

ステップ 4.14.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- C = 0 - e$

ステップ 4.14.4

$0$ から $e$ を引きます。

$- C = - e$

ステップ 4.15

$- C = - e$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.1

$- C = - e$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

ステップ 4.15.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

ステップ 4.15.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- e}{- 1}$

ステップ 4.15.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$C = \frac{e}{1}$

ステップ 4.15.3.2

$e$ を $1$ で割ります。

$C = e$

ステップ 5

$e$ を $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$e$ を $C$ に代入します。

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$

微分積分 例

微分積分例