微分積分例

$x y y' = x^{2} + 1$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

ステップ 2

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ の各項を $x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ の各項を $x y$ で割ります。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.2.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{x}{y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{x}{y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.2.2.2

$y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

ステップ 2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

ステップ 2.2.4

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

ステップ 2.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 2.4

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\frac{x^{2} + 1}{x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

ステップ 2.5.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

ステップ 2.5.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

ステップ 2.5.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

ステップ 2.6

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 4.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 4.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 4.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 4.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

ステップ 4.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 4.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 4.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 4.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 4.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 5

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

微分積分 例

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