微分積分例

$2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ の各項を $2 x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ の各項を $2 x^{2}$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{y}{2 x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3

$\frac{y}{2 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1

$V$ を移動させます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (V \cdot V)$

ステップ 6.1.1.1.1.2

$V$ に $V$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V^{2}$

ステップ 6.1.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $V^{2}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.4

まとめる。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2} \cdot 1}{2 x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.5

$V^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

ステップ 6.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

ステップ 6.1.2.2

$- \frac{V}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.3.1

$\frac{V}{x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{x \cdot 2}$

ステップ 6.1.2.3.2

$x \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{2 x}$

ステップ 6.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot 2}{2 x}$

ステップ 6.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - 2 V}{2 x}$

ステップ 6.1.2.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1}{2 x}$

ステップ 6.1.2.5.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.5.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1^{2}}{2 x}$

ステップ 6.1.2.5.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 V = 2 \cdot V \cdot 1$

ステップ 6.1.2.5.3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 \cdot V \cdot 1 + 1^{2}}{2 x}$

ステップ 6.1.2.5.3.4

$a = V$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{1}{{(V - 1)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

まとめる。

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

ステップ 6.1.4.2

${(V - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

ステップ 6.1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$u = V - 1$ とします。次に $d u = d V$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$u = V - 1$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$V - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V - 1]$

ステップ 6.2.2.1.1.2

総和則では、 $V - 1$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$

ステップ 6.2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d V} [- 1]$

ステップ 6.2.2.1.1.4

$- 1$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.3

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$- u^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{u} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$u$ のすべての発生を $V - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{V - 1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ を簡約します。

$- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 6.3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$V - 1, 1, 1$

ステップ 6.3.2.2

括弧を削除します。

$V - 1, 1, 1$

ステップ 6.3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$V - 1$

ステップ 6.3.3

$- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の各項に $V - 1$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の各項に $V - 1$ を掛けます。

$- \frac{1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$V - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1.1

$- \frac{1}{V - 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.3.1.2

$- 1$ を $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ の左に移動させます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - 1 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.3.1.3

$- 1 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ を $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ に書き換えます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

ステップ 6.3.3.3.1.4

分配則を当てはめます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V + C \cdot - 1$

ステップ 6.3.3.3.1.5

$- 1$ を $C$ の左に移動させます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - 1 \cdot C$

ステップ 6.3.3.3.1.6

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

ステップ 6.3.3.3.2

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

ステップ 6.3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

方程式を $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$ として書き換えます。

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$

ステップ 6.3.4.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = - C V + C - 1$

ステップ 6.3.4.3

方程式の両辺に $C V$ を足します。

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1$

ステップ 6.3.4.4

方程式の両辺に $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ を足します。

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.4.5

$V$ を $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.5.1

$V$ を $C V$ で因数分解します。

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.4.5.2

$V$ を $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C$ で因数分解します。

$V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.4.6

$V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ の各項を $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.6.1

$V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ の各項を $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ で割ります。

$\frac{V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 6.3.4.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.6.2.1

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.3.4.6.2.1.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 6.3.4.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 6.3.4.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$V = \frac{C - 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 6.3.4.6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$V = \frac{C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ を解きます。

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ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$\frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$ を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1.1

$C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ と $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1.1

項を並べ替えます。

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

ステップ 8.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

ステップ 8.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y = 1 x$

ステップ 8.2.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = x$

微分積分 例

微分積分例