微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = e^{x}$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = e^{x}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x e^{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x e^{x}$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x e^{x}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x e^{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x e^{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x y = \int x e^{x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

ステップ 7.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

ステップ 7.3

簡約します。

$x y = x e^{x} - e^{x} + C$

ステップ 8

$x y = x e^{x} - e^{x} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x y = x e^{x} - e^{x} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.1.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = e^{x} - \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例