微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

ステップ 2

$P (x) = - x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - x d x}$

ステップ 2.2

$- x$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int x d x}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

ステップ 2.4

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

ステップ 3.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ とします。次に $d u_{1} = - x d x$ すると、 $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 7.1.1.2

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 7.1.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

ステップ 7.1.1.4.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} x$

ステップ 7.1.1.4.3

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2}$

ステップ 7.1.1.4.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.4.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2}$

ステップ 7.1.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

ステップ 7.1.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{1}$

ステップ 7.1.1.4.4.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$- x$

ステップ 7.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.3

$u = e^{u_{1}}$ と $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.4

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.5

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.6

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.7

$3$ に $2$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.8

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.8.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.8.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.8.2.3

式を書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.9

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.4.10

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.5

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.6.2

$\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.7

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.8

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ を $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ に書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.2.1

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.9.2.2

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.9.2.3

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.9.2.4

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

ステップ 7.9.2.5

$- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ をたし算します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

ステップ 7.9.2.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

ステップ 7.9.2.7

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

ステップ 8

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例