微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $- \frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

ステップ 1.2

$y$ と $- \frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 7.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

ステップ 7.4.2

簡約します。

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ステップ 7.4.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 7.4.2.2

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.2.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 7.4.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 7.4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 7.4.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 7.4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

ステップ 7.4.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 7.4.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.4.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 7.4.3.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.4.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 7.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 7.4.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7.6

簡約します。

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.2.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.4.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

ステップ 8.4.2.1.3

$\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

ステップ 8.4.2.1.4

$2 x^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.5

$x \ln (x^{2})$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

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